数学的思考の具体的な中身 - 科学まとめ

数学的思考の具体的な中身

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皆さんは「数学的な考え方」をしたことがありますか?

近年では、センター試験が共通テストに代わり数学では数学的思考を求める問題を出される傾向になったとして話題になりました。

今回は、数学的思考とはどういう考え方なのかを具体例を交えて紹介していきます。

まず、数学の問題を解くときどのようなプロセスを踏んでいるかを考えます。

①問題から必要な情報をとる

②どう説明するかを考える(論理)

③数式に置き換える(一般化・抽象化)

④計算する(計算力)

で進むと思います。筆者はこの考え方で数学の成績が凄く上がりました。(偏差値60→70 正確には覚えていないです。)

以下説明していきたいと思います。

①問題から必要な情報をとる

問題から必要な情報をとるには、知識と経験がものをいいます。

例えば、

次のx(実数)の二次方程式の解が存在する条件は?。$$ax^2+b^x+c\geq0$$

$$答…b^2-4ac>0$$

というのがあった時、知識がある方は即答できると思います。

しかし、その知識(公式)というのは、先人たちの経験をまとめたにすぎません。

なので、知らなくても1からやればできます。(解の公式を導くことから)

しかし、難しい問題というのは、知識(公式)だけでは解けないようになっています。

そこで、1からやる力が必要になります。これが②以降の作業になります。  

②どう説明するかを考える(論理)

説明には流れがあります。というのも、数学に限らず、人に説明するとき、テンプレートがあります。

例えば数学的帰納法、背理法、同値(同じもの)だと証明すること、etc,,,

これは経験に依存していると思います。どうしてもその場で知らない論理を作るのは難しいです。

(できる方はこのサイトを見てないと思います。)

なので、いろんな問題を解き、答えがどんな論理で書かれているかを考えるようにしましょう。

③数式に置き換える(一般化・抽象化)

②と③はほぼ同時にやるのですが、現象を数式に置き換えることが重要です。

おそらくここが一番重要で、わかりにくいと思います。

例えば

太郎さんが分速30mで歩いています。距離をy、時間をt(分)としたときの関係式は?

$$答…y=30t$$

この問題は簡単だと思いますが、現象を数式に置き換えることができています。

なぜこの能力がいるかというと、当たり前ですが、言葉は計算できません。数式は計算できます。

難しい問題だとこの変換の発想が難しかったり、逆に複数の関係式が出てくるので、迷ってしまうことあります。

しかし、やはり数式に置き換えることで見えてくる世界も変わります。

例えば有名な話で複利の話があります。

単利10% 元金100万円

複利7% 元金x万円としたとき

20年後に複利の総額が単利の総額を超えるのに必要な元金(x)は??

$$単利,,,100+10*20$$

$$複利,,,x(1+0.07)^(20)$$

$$なので、複利のほうが大きくなるのはx>77.5なのでx=78ですね$$

上の問題を数式に置き換えないでわかった方はほぼいないと思います。

しかし単利の場合と複利の場合の関係式を作って連立(解いた)したにすぎません。

このように数式することでわかりやすくなることが多くあります。

④計算する(計算力)

あとは、ゴリゴリ計算するだけですが、これは計算ミスしないように頑張るしかないですね。

筆者は計算ミスがとても多いです。(もしかしたら、本記事でも間違えてるかもしれない…)

しかし、人間である以上計算ミスはおこるので、それ以外を重点的に頑張りましょう。

最後に

今回は数学的思考のプロセスを紹介しました。筆者もそこまで数学について語れる者ではありませんが、すこしでも役に立てばと思います。

次回は生活にどうやって数学的思考を活かすかを紹介したいと思います。

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